C++ 数制转换 - L21 进阶概念

📚 什么是数制？

进位计数制

数制（Number System）是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。不同的数制使用不同的基数。

🔟 十进制（Decimal）：基数为10，使用0-9，逢十进一
💻 二进制（Binary）：基数为2，使用0和1，逢二进一
🐙 八进制（Octal）：基数为8，使用0-7，逢八进一
🔤 十六进制（Hexadecimal）：基数为16，使用0-9和A-F，逢十六进一

💡 为什么需要多种进制？
• 人类习惯十进制
• 计算机内部使用二进制（只有开/关两种状态）
• 八进制和十六进制是二进制的简化表示
• 不同进制在不同场景下更方便

各种进制的特点

// 在C++中表示不同进制的数字

int decimal = 255;      // 十进制：255
int binary = 0b11111111;  // 二进制：0b前缀（C++14）
int octal = 0377;         // 八进制：0前缀
int hex = 0xFF;           // 十六进制：0x前缀

// 输出不同进制
cout << "十进制：" << decimal << endl;     // 255
cout << "八进制：" << oct << decimal << endl;  // 377
cout << "十六进制：" << hex << decimal << endl; // ff

位权概念

每个数位上的数字代表不同的值，这个值叫做位权。

// 十进制 255 的位权分解
// 2 × 10² + 5 × 10¹ + 5 × 10⁰ = 200 + 50 + 5 = 255

// 二进制 11111111 的位权分解
// 1×2⁷ + 1×2⁶ + 1×2⁵ + 1×2⁴ + 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰
// = 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 255

// 十六进制 FF 的位权分解
// F × 16¹ + F × 16⁰ = 15 × 16 + 15 × 1 = 240 + 15 = 255

⚙️ 进制转换方法

十进制转其他进制

除基取余法：不断除以目标进制的基数，记录余数，直到商为0，然后倒序排列余数。

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;

// 十进制转任意进制（2-16）
string decimalToBase(int num, int base) {
    if (num == 0) return "0";
    
    string result = "";
    bool negative = false;
    
    if (num < 0) {
        negative = true;
        num = -num;
    }
    
    while (num > 0) {
        int remainder = num % base;
        if (remainder < 10) {
            result += (char)(remainder + '0');
        } else {
            result += (char)(remainder - 10 + 'A');
        }
        num /= base;
    }
    
    if (negative) result += '-';
    reverse(result.begin(), result.end());
    return result;
}

int main() {
    int num = 255;
    
    cout << "十进制 " << num << " 转换为：" << endl;
    cout << "二进制：" << decimalToBase(num, 2) << endl;   // 11111111
    cout << "八进制：" << decimalToBase(num, 8) << endl;   // 377
    cout << "十六进制：" << decimalToBase(num, 16) << endl; // FF
    
    return 0;
}

💡 转换步骤示例（255转二进制）：
255 ÷ 2 = 127 余 1
127 ÷ 2 = 63 余 1
63 ÷ 2 = 31 余 1
31 ÷ 2 = 15 余 1
15 ÷ 2 = 7 余 1
7 ÷ 2 = 3 余 1
3 ÷ 2 = 1 余 1
1 ÷ 2 = 0 余 1
倒序排列：11111111

其他进制转十进制

按权展开法：将每位数字乘以对应的位权，然后求和。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;

// 任意进制转十进制
int baseToDecimal(string num, int base) {
    int result = 0;
    int power = 0;
    
    // 从右到左处理每一位
    for (int i = num.length() - 1; i >= 0; i--) {
        int digit;
        if (num[i] >= '0' && num[i] <= '9') {
            digit = num[i] - '0';
        } else {
            digit = toupper(num[i]) - 'A' + 10;
        }
        result += digit * pow(base, power);
        power++;
    }
    
    return result;
}

int main() {
    cout << "二进制 11111111 转十进制：" 
         << baseToDecimal("11111111", 2) << endl;  // 255
    
    cout << "八进制 377 转十进制：" 
         << baseToDecimal("377", 8) << endl;       // 255
    
    cout << "十六进制 FF 转十进制：" 
         << baseToDecimal("FF", 16) << endl;       // 255
    
    return 0;
}

🎮 互动实验：进制转换器

输入数字和目标进制，实时查看转换结果

输入数字：源进制：目标进制：

点击"转换"查看结果...

🛠️ C++内置进制转换

使用iostream进行进制输出

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int num = 255;
    
    // 默认十进制输出
    cout << "十进制：" << num << endl;              // 255
    
    // 八进制输出
    cout << "八进制：" << oct << num << endl;        // 377
    
    // 十六进制输出（小写）
    cout << "十六进制：" << hex << num << endl;      // ff
    
    // 十六进制输出（大写）
    cout << uppercase;
    cout << "十六进制（大写）：" << hex << num << endl; // FF
    
    // 恢复十进制
    cout << dec;
    cout << "恢复十进制：" << num << endl;           // 255
    
    return 0;
}

使用bitset进行二进制转换

#include <iostream>
#include <bitset>
using namespace std;

int main() {
    int num = 255;
    
    // 8位二进制
    cout << "8位二进制：" << bitset<8>(num) << endl;     // 11111111
    
    // 16位二进制
    cout << "16位二进制：" << bitset<16>(num) << endl;   // 0000000011111111
    
    // 32位二进制
    cout << "32位二进制：" << bitset<32>(num) << endl;   // 00000000000000000000000011111111
    
    // 从二进制字符串转换
    string binStr = "11111111";
    int value = bitset<8>(binStr).to_ulong();
    cout << "二进制字符串转十进制：" << value << endl;    // 255
    
    return 0;
}

快速转换技巧

二进制 ↔ 八进制：每3位二进制对应1位八进制

// 二进制 11111111 转八进制
// 分组：011 111 111（不足3位前面补0）
// 转换：3   7   7
// 结果：377

// 八进制 377 转二进制
// 3 → 011, 7 → 111, 7 → 111
// 结果：011111111 → 11111111

二进制 ↔ 十六进制：每4位二进制对应1位十六进制

// 二进制 11111111 转十六进制
// 分组：1111 1111
// 转换：F    F
// 结果：FF

// 十六进制 FF 转二进制
// F → 1111, F → 1111
// 结果：11111111

🎯 进制转换练习

生成随机题目，练习进制转换

点击"生成练习题"开始练习...

🚀 实际应用场景

颜色表示（十六进制）

在Web开发和图形编程中，颜色常用十六进制表示。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

// RGB颜色转十六进制
string rgbToHex(int r, int g, int b) {
    char hexColor[8];
    sprintf(hexColor, "#%02X%02X%02X", r, g, b);
    return string(hexColor);
}

int main() {
    // 红色：RGB(255, 0, 0)
    cout << "红色：" << rgbToHex(255, 0, 0) << endl;  // #FF0000
    
    // 绿色：RGB(0, 255, 0)
    cout << "绿色：" << rgbToHex(0, 255, 0) << endl;  // #00FF00
    
    // 蓝色：RGB(0, 0, 255)
    cout << "蓝色：" << rgbToHex(0, 0, 255) << endl;  // #0000FF
    
    // 白色：RGB(255, 255, 255)
    cout << "白色：" << rgbToHex(255, 255, 255) << endl; // #FFFFFF
    
    return 0;
}

位运算与二进制

#include <iostream>
#include <bitset>
using namespace std;

int main() {
    int a = 12;  // 二进制：1100
    int b = 10;  // 二进制：1010
    
    cout << "a = " << bitset<8>(a) << " (" << a << ")" << endl;
    cout << "b = " << bitset<8>(b) << " (" << b << ")" << endl;
    cout << endl;
    
    // 按位与（AND）
    cout << "a & b = " << bitset<8>(a & b) << " (" << (a & b) << ")" << endl;
    
    // 按位或（OR）
    cout << "a | b = " << bitset<8>(a | b) << " (" << (a | b) << ")" << endl;
    
    // 按位异或（XOR）
    cout << "a ^ b = " << bitset<8>(a ^ b) << " (" << (a ^ b) << ")" << endl;
    
    // 左移
    cout << "a << 1 = " << bitset<8>(a << 1) << " (" << (a << 1) << ")" << endl;
    
    // 右移
    cout << "a >> 1 = " << bitset<8>(a >> 1) << " (" << (a >> 1) << ")" << endl;
    
    return 0;
}

内存地址表示

计算机内存地址通常用十六进制表示，因为更紧凑且易于阅读。

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int x = 42;
    
    // 输出变量的内存地址（十六进制）
    cout << "变量 x 的值：" << x << endl;
    cout << "变量 x 的地址：" << &x << endl;
    
    // 强制转换为十六进制格式
    cout << hex;
    cout << "地址（十六进制）：0x" << (unsigned long)&x << endl;
    
    return 0;
}

📝 实战练习

📝 理解测试

以下代码的输出是什么？

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int num = 0xFF;
    cout << oct << num << endl;
    return 0;
}

选择答案查看解析...

💻 综合挑战

题目：编写一个程序，实现任意进制之间的转换（2-36进制）。

点击"生成代码框架"查看提示...